На основе модели Био, описывающей распространение акустических возмущений в изотропной пористой среде, насыщенной вязким флюидом, и теории вязкоупругости предложена модифицированная модель Био. Вязкоупругое поведение в ней задается объемным и сдвиговым коэффициентами сцементированности, определяющими межгранулярные взаимодействия. Вязкоупругая непористая среда и вязкая жидкость рассматриваются как частные случаи предложенной модели. Описан способ аппроксимации вязкоупругих модулей рациональными функциями, позволяющий свести их включение в модель к вычислению сверток с экспоненциальным ядром. На основе вязкоупругой модели Био сформулирована постановка задачи моделирования акустических полей в аксиально-симметричном случае для мультипольных источников. Представлен способ ее решения с помощью разложения по азимутальному углу, включающий использование нерасщепляющегося полностью согласованного слоя в качестве краевых условий прозрачности. Приведено описание явной конечно-разностной схемы второго порядка на сдвинутых сетках, аппроксимирующей уравнения задачи, и экономичный способ вычислении сверток, также входящих в условия прозрачности. Представлены численные результаты моделирования лабораторного эксперимента по акустике, дипольного акустического каротажа и в сейсморазведке, которые сравниваются и анализируются с аналогичными, полученными по аналитическим решениям.

Никитин Анатолий Алексеевич, кандидат физико-математических наук, ст. преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова, геологический факультет; Государственный университет «Дубна», доцент. 119991, Россия, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, геологический факультет. Е-mail: nikitin@geol.msu.ru.

Плющенков Борис Данилович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 125047, Москва, Миусская пл., д. 4. Е-mail: plyushchenkov48@mail.ru.

1. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. – М. : Недра, 1986. – 261 с.
2. Фаворская А.В., Петров И.Б., Голубев В.И., Хохлов Н.И. Численное моделирование сеточно-характеристическим методом воздействия землетрясения на сооружения // Математическое моделирование. – 2015. – Т. 27, № 12. – С. 109-120.
3. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология: теории и методы : в 2 т. Т. 1. – М. : Мир, 1983. – 520 с.
4. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М. : Мир, 1974. – 228 c.
5. Плющенков Б.Д., Турчанинов В.И., Никитин А.А. Моделирование сейсмоакустических полей в аксиально-симметричных поглощающих средах. Постановка задачи // Математическое моделирование. – 2017. – Т. 29, № 9. – С. 62-76.
6. Cаrcione J.M. Viscoelastic effective rheologies for modeling wave propagation in porous media // Geophysical Prospecting. – 1998. – V. 46. – P. 249-270.
7. Arntsen B., Carcione J.M. Numerical simulation of the Biot slow wave in water-saturated Nivel-steiner Sandstone // Geophysics. – 2001. – V. 66, No. 3. – P. 890-896.
8. Dyshlyuk E., Parshin A.V., Charara M.G., Nikitin A.A., Plyushchenkov B.D. In-Situ Viscosity from Acoustic Logging // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, USA, Colorado, Denver, 30 Oct. – 2 Nov 2011 : Proceedings. – SPE 146023, 2011. – P. 1-12.
9. Ильясов Х.Х. Исследование акустических волн в слоистых гидроупругих средах : дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 / Институт проблем механики РАН. – М., 2005.
10. Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. – Cambridge University Press, 2009. – 329 p.
11. Плющенков Б.Д., Турчанинов В.И., Никитин А.А. Моделирование сейсмоакустических полей в аксиально-симметричных поглощающих средах. Разностная схема // Математическое моделирование. – 2018. – Т. 30, № 4. – С. 21-42.
12. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic Waves and Sources. – New York : Springer-Verlag, 1981. – 1126 p.
13. Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Optimum approximation of convolution of arbitrary grid function with the power kernel // Poromechanics II / J.L. Auriault et al. (eds) – Lisse : Swets and Zeitlinger, 2002. – P. 753-756. ISBN 90 5809 394 8.
14. Плющенков Б.Д., Турчанинов В.И. Пошаговая свертка // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. – 2009. – № 24. – 24 с. – URL: http://library. keldysh.ru/ preprint.asp?id=2009-24 (дата обращения: 04.04.2019).
15. Asvadurov S., Knizhnermanz L., Pabon J. Finite-difference modeling of viscoelastic materials with quality factors of arbitrary magnitude // Geophysics. – 2004. – V. 69, No. 3. – P. 817-824.
16. Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media // Journal of Fluid Mechanics. – 1987. – V. 176. – P. 379-402.
17. Johnson D.L. Scaling function for dynamic permeability in porous media // Phys. Rev. Lett. – 1989. – V. 63, No. 5. – P. 580-583.
18. Nikitin A.A., Plyushchenkov B.D., Segal A.Yu. Properties of low-frequency trapped mode in viscous-fluid waveguides // Geophysical Prospecting. – 2016. – V. 64, No. 5. – P. 1335-1349.
19. Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Solution of Pride’s equation through potentials // Int. J. Mod. Phys. C. – 2006. – V. 17, No. 6. – P. 877-908.
20. Liu H.-L., Johnson D.L. Effects of an elastic membrane on tube waves in permeable formations // Journal Acoustic Society of America. – 1997. – V. 101, No. 6. – P. 3322-3329.
21. Liu Q.H., Sinhaz B.K. A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stressed formations // Geophysics. – 2003. – V. 68, No. 5. – P. 1731-1743.
22. Wang T., Tang X. Finite-difference modeling of elastic wave propagation: A nonsplitting perfectly matched layer approach // Geophysics. – 2003. – V. 68, No. 5. – P. 1749-1755.
23. Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Acoustic logging modelling by refined Biot’s equations // Int. J. Mod. Phys. C. – 2000. – V. 11, No. 2. – P. 365-396.
24. Ryaben’kii V.S. Method of difference potentials and its applications. – Springer Verlag, 2002. – 538 p.
25. Randall C.J., Scheibner D.J., Wu P.T. Multipole borehole acoustic waveforms: Synthetic logs with beds and borehole washouts // Geophysics. – 1991. – V. 56, No. 11. – P. 1757-1769.
26. Hua Y., Sarkar T.K. Matrix Pencil Method of Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise // IEEE Transactions on Acoustics : Speech and Signal Processing. – 1990. – V. 38, No. 5. – P. 814-824.
27. Tang X.M., Cheng A. Quantitative Borehole Acoustic Methods. – Elsevier Ltd., Seismic Exploration. – 2004. – V. 24. – 255 p.
28. Brie D., Endo T., Johnson D.L. Pampuri F. Quantitative formation permeability evaluation from Stoneley waves // SPE 49131. – 1998. – P. 1-12.
29. Plyushchenkov B.D., Nikitin A.A. Borehole Acoustic and Electric Stoneley Waves and Permeability // Journal of Computational Acoustics. – 2010. – V. 18, No. 2. – P. 1-29.
30. Wang K.-X., Ma J., Wu X.-Y., Zhang B.-X. Determination of permeability from flexural waves in dipole acoustic logging // SEG Technical Program Expanded Abstracts, 1999. – P. 33-36.
31. Боганик Г.Н., Гурвич И.И. Сейсморазведка. – Тверь : Изд-во АИС, 2006. – С. 744.